3. EXPLICACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo A como el siguiente: A

$A$

$\maroonC{\text{adyacente}}$$\blueD{\text{opuesto}}$$\purpleC{\text{hipotenusa}}$$\sin (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\cos (A) = \dfrac{\maroonC{\text{adyacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\tan (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\maroonC{\text{adyacente}}}$$A$$B$$C$

En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

SOH-CAH-TOA: una manera sencilla de recordar las razones trigonométricas.

La palabra sohcahtoa nos ayuda a recordar las definiciones de seno, coseno y tangente. He aquí como funciona esto:

Acrónimo	Descripción verbal	Definición matemática
$\Large S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{S}$Seno es $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDpuesto entre $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\sin(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color blueD, O, p, u, e, s, t, o, end color blueD, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large C\maroonC{A}\purpleC{H}$C, start color maroonC, A, end color maroonC, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{C}$Coseno es $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdyacente entre $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\cos(A) = \dfrac{\text{\maroonC{Adyacente}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color maroonC, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large T\blueD{O}\maroonC{A}$T, start color blueD, O, end color blueD, start color maroonC, A, end color maroonC	$\text{T}$Tangente es $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDpuesto entre $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdyacente	$$\tan(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\maroonC{Adyacente}}}tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color blueD, O, p, u, e, s, t, o, end color blueD, divided by, start color maroonC, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, end fraction

Por ejemplo, si queremos recordar la definición de seno, nos referimos a $S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, pues seno empieza con la letra S. ¡La $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueD y la $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleC nos ayudan a recordar que seno es $\text{\blueD{opuesto}}$start color blueD, o, p, u, e, s, t, o, end color blueD entre $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC!

Ejemplo

Supongamos que queremos determinar $\sin( A)$sine, left parenthesis, A, right parenthesis en $\triangle ABC$triangle, A, B, C dado a continuación:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

Seno se define como la razón entre $\text{\blueD{opuesto}}$start color blueD, o, p, u, e, s, t, o, end color blueD e $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC $(S\blueD{O}\purpleC{H})$left parenthesis, S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, right parenthesis. Por lo tanto:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

$\begin{aligned}\sin( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ opuesto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}$

He aquí otro ejemplo en el que examinamos un problema similar.

Las funciones trigonométricas inversas

Acrónimo	Descripción verbal	Definición matemática
$\Large S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{S}$Secante es $\text{\blueD{O}}$ $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa entre opuesto	$\sin(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color blueD, O, p, u, e, s, t, o, end color blueD, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large C\maroonC{A}\purpleC{H}$C, start color maroonC, A, end color maroonC, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{C}$Cosecante es $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa entre adyacente	$\cos(A) = \dfrac{\text{\maroonC{Adyacente}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color maroonC, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large T\blueD{O}\maroonC{A}$CotT, start color blueD, O, end color blueD, start color maroonC, A, end color maroonC	$\text{T}$Cotangente es $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdyacente entre opuesto	$$\tan(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\maroonC{Adyacente}}}cot(A)=Opuesto Adyacente ​